점성을 가진 액체나 기체 속을 움직이는 구체의 Reynolds 수가 작을 경우에 받는 저항에 관한 대한 법칙으로 스토크스의 법칙(Stokes's Law)이 있다. Reynolds 수가 작다는 것은 점성력의 크기가 관성력에 비해 큰 경우로 물체의 크기가 작고 유체의 속도가 느리며 점성계수가 큰 경우를 말하며 이 때 Stokes‘s Law가 잘 성립한다. 구체적으로 표현하면 직경이 [eqn: D]인 구체가 점성계수가 [eqn: mu]인 유체 속에서 속도 [eqn: v]로 운동할 경우

[eqn: F _{D} ````=````-3 pi mu Dv]                                                        (2)

의 마찰 저항력이 작용한다는 것이다. (-)부호는 속도의 방향과 반대방향으로 작용함을 나타내고 있다. Reynolds 수가 1보다 작을 경우 실제로 측정한 값과 잘 일치한다. 밀리칸 유적 실험은 미소하게 대전된 기름방울의 공기중의 낙하에 이 법칙을 적용하여 기본 전하량을 측정한 것으로 유명하다.

이 법칙은 뉴턴의 마찰저항력으로 부터 쉽게 구해질 수 있다. 마찰저항력은

[eqn: F _{D} ````=```` {1} over {2} C _{D} A rho v ^{2}]                                                       (3)

로, [eqn: C _{D}]는 항력계수로 구의 경우 24/Re이다. [eqn: A]는 입자의 단면적으로 직경 [eqn: D]인 구체의 경우 [eqn: A= pi D ^{2} /4]이고, [eqn: rho]는 유체의 밀도이다. 이를 정리하면 [eqn: F _{D} ````=````3 pi mu Dv]의 스토그스 법칙을 얻을 수 있다.

그림 1. 균일한 전기장하에서 대전된 기름방울의 운동

따라서 밀도가 [eqn: sigma]인 입자가 밀도가 [eqn: rho]인 유체 속에서 운동하면서 종단속도 [eqn: v]로 등속운동하는 경우 입자에 작용하는 힘은 중력에 부력이 작용 그 차이 만큼의 침강력이 있고 다시 이 침강력은 마찰저항력과 평형을 이루고 있으므로 다음의 관계가 성립한다.

[eqn: {pi } over {6} g( sigma _{} ``-`` rho _{} )D ^{3} ````=````3 pi mu Dv]                                                 (4)

본 실험은 공기의 저항을 받아 일정한 종단속도로 낙하하는 대전한 기름방울에 수직상향으로 전기장을 걸었을 때, 기름방울이 가지고 있는 전하의 양에 따라 그 속도가 변하는 것을 이용한다. 즉 기름방울이 자유낙하할 때의 속도를 [eqn: v _{0}], 여기에 전기장 [eqn: E]를 걸었을 때 기름방울의 부양속도을 [eqn: v _{-}](그림 1의 c), 전기장의 방향을 바꾸어 걸었을 때 기름방울의 낙하속도를 [eqn: v _{+}](그림 1의 b)라 하면 스토크스의 법칙에 의해

[eqn: {pi } over {6} g( sigma - rho )D ^{3} ````=````3 pi mu Dv _{0}]                                                 (5)

[eqn: qE``+`` {pi } over {6} g( sigma - rho )D ^{3} ````=````3 pi mu Dv _{-}]                                           (6)      [eqn: -qE``+`` {pi } over {6} g( sigma - rho )D ^{3} ````=````3 pi mu Dv _{+}]                                         (7)의 관계가 성립한다. 식에서 중력의 방향을 +의 방향으로 하었다. 기름방울의 직경 [eqn: D] 및 전하량 [eqn: q]는

[eqn: D````=```` sqrt {{18 mu v _{0}} over {g( sigma - rho )}}]                                                       (8)

[eqn: `````````=```` sqrt {{9 mu (v _{+} +v _{-} )} over {g( sigma - rho )}}]                                                    (9)

[eqn: q```=` {3 pi mu (v _{-} -v _{0} )} over {E} sqrt {{18 mu v _{0}} over {g( sigma - rho )}}]                                            (10)

[eqn: ``````=` {3 pi mu (v _{-} -v _{+} )} over {2E} ` sqrt {{9 mu (v _{+} +v _{-} )} over {g( sigma - rho )}}]                                        (11)

로 주어지고, 따라서 [eqn: v _{0} ,``v _{-}] 또는 [eqn: v _{-} ,``v _{+}]를 측정함으로써 전하량 [eqn: q]가 [eqn: n`e]로 기본전하량의 정수배로 주어지는지를 확인할 수 있다.

3. 실험기구 및 장치

1) 밀리칸 유적 실험장치

2) 수동 초점방식의 줌모드 CCD 카메라

3) I-CA 시스템

4. 실험방법

1) 그림 2와 같이 밀리칸 실험장치와 I-CA 시스템을 준비한다. 밀리칸 실험장치는    삼각발의 나사를 이용 수평이 되도록 설치하고, 카메라는 컴퓨터와 연결 I-CA     시스템으로 영상이 잘 전송되는지 확인하여 둔다. 전원을 켜고 전압조절 단자를    200-300V로 고정시킨 후 전압 조절레버를 중립에 위치시킨다.

2) 기준철심을 실험장치에 꼽고, 망원렌즈를 조절 초점을 철심에 맞춘다.

3) 이 상태에서 망원렌즈에 카메라를 평행하게 댄다. 카메라에 켑처되는 영상을 확    인하면서 줌과 초점레버를 조절하여  카메라의 초점을 기준철심에 맞춘다.

(주의) 실험면에 대한 카메라 셋팅이 끝나면 이 후 움직임이 없도록 주의한다.

4) 이 영상을 화면켑처 저장하여, 좌표계 및 스케일을 결정한다.  스케일은 기본제    공되는 철심의 두께를 1mm로 한다.

스토크의 법칙은 낙하속도가 0.1 cm/s이하일 때 정확하지 않다.(이와 같거나 작은 속도를 갖는 유적은 약 2[eqn: mu]m의 반지름을 갖고 이는 공기분자의 평균자유거리(mean free path)에 접근한다.  이는 스토크의 정리를 유도하는데 필요한 가정중의 하나를 위반하는 조건이다.)  이 실험에서 이용되는 유적의 속도는 0.01에서 0.001 cm/s의 영역에 있으므로 점도에 교정인자를 곱한 다음 스토크의 공식에 사용한다.  이 결과로 얻어지는 유효점도는 아래와 같다.:

[eqn: mu _{eff}]= [eqn: mu][eqn: LEFT ( { 1} over {1+ { b} over {pa } } RIGHT )]

여기서 b 는 상수로 8.2x10-3 Pa m의 값을 가지며, p 는 대기압, 그리고 a 는 교정되지 않는 스토크의 법칙을 이용하여 계산된 유적의 반지름이다.